ピタゴラス音律と三分損益法
Ｗｉｋｉでピタゴラスの音楽を調べると、「ピタゴラス音律」ページがヒットします。
１）ピタゴラス音律（ピタゴラスおんりつ）は、音階の全ての音と音程を周波数比３：２の純正な完全五度に基づいて導出する音律である。
周波数比１：１を完全一度、２：１を完全八度、３：２を完全五度、４：３を完全四度と呼びます。音楽においてこの完全五度が重要なのかは、現時点では不明です。
２）ピタゴラス音律は初期ルネサンスまでの西洋音楽の標準的な音律であり、また中国や日本の伝統音楽の音律も同様の原理に基づくものである（三分損益法）。
「三分損益法」については後述します。
３）ピタゴラス音律では純正な五度と四度の音程が得られるが、三度と六度は純正にならない。ルネサンス音楽において三度と六度の使用が増えると、五度を狭めることによって三度をより純正に近づける中全音律が普及した。
４）方法：
５）例としてＤ（ニ）を起点に、上下に３回ずつ、周波数比３：２の純正な完全五度の音程にある音を得ることを繰り返すと以下のようになる。
Ｆ−Ｃ−Ｇ−Ｄ−Ａ−Ｅ−Ｂ
周波数は各々、（１／１．５）＾３、（１／１．５）＾２、（１／１．５）、１、１．５、（１．５）＾２、（１．５）＾３、倍です。
６）この７つの音は全音階を構成する音である。得られた音は実際には広い音域に渡っているが、オクターヴ関係にある音には同じ音名が与えられるため、オクターヴ単位で音高を移して、これらを１オクターヴの範囲内に配列することで
ピタゴラス音律による全音階が得られる。
１．５＾３＝３．３７５で、１オクターブを越えてしまいます。
この辺りの説明は、かなり難しいです。これらを理解する為に、「全音階」ページの方を先に参照する事にします。
１）全音階（ぜんおんかい、英語：diatonic scale）とは、七音音階の一種であり、オクターヴの音程を５つの全音と２つの半音で満たす音階である。古代ギリシアのディアトノンのテトラコルドに由来する。
オクターヴとは、西洋音楽における８度音程であり、周波数２：１の音程である、とあります。ですから七音音階は、基礎となる音とその倍音との間を、７分割している訳です。（等分では有りません）
２）全音階は以下のように、全音が二つ、半音、全音が三つ、半音という配列を取る。
ド 全音 レ 全音 ミ 半音 ファ 全音 ソ 全音 ラ 全音 シ 半音 （ド）
全音と半音では、周波数比が異なっています。全音の方が比が大きく、半音の方が比が小さいのです。全音が５個、半音が２個ですから、全音＊５＋半音＊２＝全音＊６と成ります。
ですから２のｌｏｇを取り６で割り、指数倍すると、ｅ＾（ｌｏｇ２／６）＝ｅ＾（０．６９３・・・／６）＝ ｅ＾（０．１１５５・・・）＝１．１２２・・・。全音は１．１２２程度と成ります。
人間の耳は、この周波数の差（ド−レ間）を聞き分けている訳です。
３）この階名はグイード・ダレッツォが考案したものである。
４）これをドから始めると長音階、ラから始めると（自然）短音階になる。
５）音度と機能：
６）階名では、長音階と短音階とで同じ働きの音に異なる名前が付いてしまうので、それを克服するために、それぞれの音階の最初の音（長調のド、短調のラ）をi （１） 度音、そのすぐ上の音（長調のレ、短調のシ）をii度音と呼び、
以下、iii度音、iv度音……vii度音と呼ぶ。これを音度と呼ぶ。
音を音度で表記すると、長音階でも短音階でも、同じ高さの音は同じ名前に成る訳です。
７）また、特に以下の４音には、その機能を端的に表した呼び方がある。
・i度音 - 主音（トニック、トニカ）
・iv度音 - 下属音（サブドミナント）
・v度音 - 属音（ドミナント）
・vii度音 - 導音（リーディング・トーン）
その他、あまり用いられないが、ii度音＝上主音（スーパートニック）、iii度音＝上中音（ミーディアント）、vi度音＝下中音（サブミーディアント）、主音の長２度下のvii度音＝下主音（サブトニック）という呼び方がある。
これらはきっと和音なのでしょう。次は「三分損益法」ページです。
１）三分損益法（さんぶんそんえきほう）とは、三分損一、および三分益一と呼ばれる方法を組み合わせて音階を得る方法である。
２）近代邦楽では、順八逆六（じゅんぱちぎゃくろく）の法とも呼ばれる。
３）管楽器の管、または弦楽器の弦の長さを（弦ならその張力を一定に保ちながら）その三分の一の長さだけ短くすると、最初の音より完全五度高い音（属音）が得られる。これを、三分損一と（近代邦楽では、三分一損とも、順八とも）言う。
４）逆に三分の一の長さを足した場合、完全四度低い音が得られる。これを三分益一と言う（近代邦楽で言うところでは逆六）。
これで完全五度と完全四度の意味が分かりました。つまりは音階とは、楽器、管や弦に起因するものだった訳です。
５）この二つを組み合わせて音階を得る方法を三分損益法といい、ピタゴラス音律と原理は同じである。
以下は省略します。ここで「ピタゴラス音律」ページに戻ります。
７）この作業をさらに拡張しようとすると問題が浮上する。同様の作業をさらに上下に３回ずつ行うと以下のようになる。
A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯
８）平均律においてはA♭とG♯のような異名同音は実際に全く同じ音であるが、このA♭とG♯には約２３．４６０セント≒１／４半音の差が生じる。この差をピタゴラスコンマと呼ぶ。
９）したがって、半音階を構成するために、A♭を省いてE♭からG♯までの１２音を用いた場合、G♯からE♭への音程は、３：２の比率による純正な完全五度（約７０１．９５５セント）よりも
ピタゴラスコンマ１つ分狭い音程（約６７８．４９５セント）になる。
１０）この音程による和音は顕著なうなりを生じるため、狼の吠声に例えてウルフの五度（en:Wolf interval）と呼ばれる。
以下には音名の表とピタゴラス音律の五度圏グラフが有りますが、省略します。
１１）上記の音律でハ長調の音階を構成すれば以下のようになる。
音名：Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ａ Ｂ Ｃ
比率：１／１、９／８、８１／６４、４／３、３／２、２７／１６、２４３／１２８、２／１
間隔： ９／８、９／８、２５６／２４３、９／８、９／８、９／８、２５６／２４３
９／８が全音で、２５６／２４３が半音なのでしょう。９／８＝１．１２５です。
大体理解出来ましたので、以下は省略します。音楽ページに戻ります。
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